نسبت طلایی و مهم ترین مثال های آن

نسبت طلایی یا عدد فی (ϕ) (به انگلیسی: Golden ratio) در ریاضیات و هنر هنگامی رخ می‌دهد که «نسبت بخش بزرگتر به بخش کوچکتر، برابر با نسبت کل به بخش بزرگتر» باشد.

تعریف هندسی آن چنین است: طول مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طولش باشد.

فی، نخستین حرف از نام «فیدیاس»، پیکرتراش زبده ی یونان باستان است که به احتمال زیاد این نسبت عددی را ده‌ها سال پیش از اقلیدس، در شیوهٔ هنری‌اش لحاظ می‌کرده‌است. بسیاری از مراجع علمی، حرف یونانی ϕ یا عدد فی را برای این عدد انتخاب کرده‌اند. مقدار عددی عدد طلایی برابر به‌طور تقریبی برابر است با:

تعبیر هندسی دیگر اینگونه‌است: پاره خط AB و نقطهٔM روی آن مفروضند به گونه‌ای که نسبت a به b برابر است با نسبت a+b به a. این نسبت برابر φ است. یعنی:

پیشینه توجه به عدد طلایی نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می‌رسد. اقلیدس در جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد، این نسبت را مطرح کرده‌است. لوکا پاچیولی در سال ۱۵۰۹ میلادی کتابی با عنوان نسبت الهی (The Divine Proportion) تألیف کرد. وی در آن نقاشی‌هایی از لئوناردو دا وینچی آورده‌است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می‌دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده‌است.

مصریان، سالها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند. بسیاری از الگوهای طبیعی در بدن انسان این نسبت را دارا هستند. نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم برابر همین عدد است. روانشناسان هم بر این باورند زیباترین مستطیل به دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی باشد. دلیل این امر آن است که این نسبت در شبکیه چشم انسان رعایت شده و هر مستطیلی که این نسبت را دارا باشد به چشم انسان زیبا می‌آید.

لئوناردو داوینچی اولین کسی بود که نسبت دقیق استخوان‌های انسان را اندازه‌گیری نمود و ثابت کرد که این تناسبات با ضریب عدد طلایی هستند.

کپلر منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه‌ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت: «هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می‌باشد که یکی از آنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می‌باشد. اولین گنج را می‌توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد».

برج و میدان آزادی:طول بنا ۶۳ و عرض ان ۴۲ است که ۱٫۵=۴۲: ۶۳ و به عدد طلایی نزدیک می‌باشد سبک معماری آن نیز طاق بزرگی است که تلفیقی از سبک هخامنشی و ساسانی و اسلامی است که منحنی آن با الهام از طاق کسری معماری ایران باستان را تداعی می‌نماید.

قلعه دالاهو، کرمانشاه:خطی از استحکامات به طول دو و نیم کیلومتر و عرض چهار متر با قلوه و لاشه سنگ به همراه ملات دیوار گچ را می‌سازد. سرتاسر نمای خارجی این دیوار با مجموعه‌ای از برج‌های نیم دایره‌ای شکل تقویت شده‌است. می‌دانیم۱٫۶=۵/۲: ۴ که همان عدد طلایی است.

بیستون از دوره هخامنشی، کرمانشاه:به طول ۵ کیلومتر و عرض ۳ کیلومتراست. اعداد۵و۳هر دو جزو دنباله فیبوناتچی هستندو۱٫۶=۵:۳ و ابعاد برجسته کاری ۱۸ در ۱۰ پاست که قامت "داریوش"۵ پا و ۸ اینچ (۱۷۰ سانتیمتر) بلندی داردکه هر دو اعداد فیبوناتچی هستند.

یکی از هنرهای معماری در تخت جمشید این است که نسبت ارتفاع سر درها به عرض آنها و همین‌طور نسبت ارتفاع ستون‌ها به فاصلهٔ بین دو ستون نسبت طلایی است. نسبت طلایی نسبت مهمی در هندسه است که در طبیعت وجود دارد. این نشانگر هنر ایرانیان باستان در معماری است.

 پل ورسک در مازندران: این پل بر روی رودخانه ورسک در مجاورت سواد کوه بنا شد. بلندی این پل ۱۱۰ متر است و طول قوس آن ۶۶ متر می‌باشد(۱٫۶ = ۶۶: ۱۱۰).

مقبره ابن سینا:آرامگاه دروسط تالاری مربع شکل قرارگرفته که پله مدور (مارپیچ فیبوناتچی) و پایه‌های دوازده‌گانه برج را احاطه کرده‌اند. سطح حیاط باسه پله سراسری به ایوان متصل است. ایوان با دری به ارتفاع ۲/۳ متر و عرض ۹/۱ متر به سرسرای آرامگاه متصل است (۱٫۶=۹/۱: ۲/۳)در دو طرف سرسرا دو تالار قرار دارد یکی در جنوب که تالار سخنرانی و اجتماعات است؛ و یکی در شمال که کتابخانه آرامگاه است. طول تالار کتابخانه ۴۵/۹ متر و عرض آن ۷۵/۵ متر است(۱٫۶=۷۵/۵: ۴۵/۹)

ارگ بم:این بنا ۳۰۰ متر طول و ۲۰۰ متر عرض داشته و از ۲ قسمت تشکیل شده‌است. این دژ ۵ شیوه ساختاری از خشت خام دارد. (۳ و ۲ و ۵ اعداد دنباله فیبوناتچی هستند)

میدان نقش جهان و مسجد لطف‌الله:در کتب اخیر، نویسنده جیسون الیوت بر این باور است که نسبت طلایی توسط طراحان میدان نقش جهان و در مجاورت مسجد لطف‌الله مورد استفاده قرار گرفته‌است.

خوشنویی میرعماد حسنی:با بررسی اکثریت قاطع حروف و کلمات میرعماد متوجه می‌شویم که این نسبت به عنوان یک الگو در تار و پود حروف و واژه‌ها وجود دارد و زاویه ۴۴۸/۶۳ درجه که مبنای ترسیم مستطیل طلایی است، در شروع قلم گذاری و ادامه رانش قلم، حضوری تعیین‌کننده دارد.

نسبت طلایی در جهان اسلام

گفته می‌شود که: «اگر فاصله کعبه را در شهر مکه تا قطب شمال و جنوب اندازه گرفته و به هم تقسیم کنید عدد فی بدست خواهد آمد. برای اطمینان می‌توانید از نرم‌افزار Google Earth استفاده کنید و به این حقیقت دست یابید.»

تاکنون نه تنها در کتاب رمز داوینچی بلکه پیام‌ها، اسرار مذهبی و کهن در دیوارهای زیارتگاه‌های اسلامی به صورت رمز قرار مشاهده شده‌است. بسیاری از کاشیکاری‌های بناهای اسلامی متعلق به ۵۰۰سال پیش توانسته‌اند الگوهای فراوان ریاضی پیدا کنند که تا دهه ۱۹۷۰ برای غربی‌ها ناشناخته بوده‌است. اساس یک طراحی هندسی برای نشان دادن یک نماد از علم «ماندالا» است که به عقیده بسیاری از ملت شرق به تعمق و اندیشه کمک می‌کند خلق بسیاری از نامحدودها با استفاده از مثلث و مستطیل طلایی از این‌گونه است

کیث کریچلو" keith Critchlowنویسنده کتاب "الگوهای ریاضی اسلامی" چنین ادعا می‌کند: ما دریافته‌ایم که اسلام در دوره قرون وسطی تا چه اندازه پیشرفته بوده‌است. نام این الگوهای ریاضی پیچیده در آن دوران "شیمی بیضی متقارن ممنوعه" می‌نامند. آنها از الگوی کاشی‌های هرمی برخوردارند و با چرخش یک سوم در آن قابل شناسایی هستند. همین قانون برای کاشی‌های مستطیلی نیز پیروی می‌کند که با چرخش یک چهارم قابل شناسایی هستند ما برای کاشی‌های شش گوش چرخش یک ششم لازم است. اما این شبکه‌ها بدون وجود پنج‌ضلعی‌ها کامل نمی‌شوند و بدون رعایت فاصله میان آنها در کنار هم جفت نمی‌شوند و نمی‌توان آنها را با با چرخش یک پنجم در کنار هم قرار داد.

آقای لو توانست در دیوار یکی از زیارتگاه‌های ایران دو نوع از این کاشیکاری‌ها بزرگ را که با کاشی‌های هم‌شکل ساخته شده بود، کشف کند به گونه‌ای که ظاهراً از نسبت طلایی فیثاغورثی تبعیت می‌کردند. کریچلو در این‌باره می‌گوید: سازندگان بنا بطور حتم از این نسبت خبر داشتند.

در سال ۱۹۷۳سر «راجر پنروس» Roger Penroseریاضی‌دان برجسته غربی توانست با در نظر گرفتن این پنج‌ضلعی‌ها الگویی پنج تایی با شکلی بسازد که از آن به عنوان کیت یا دارت نام برده می‌شود. او نخستین غربی بود که این حساب را کشف کرد و در آن زمان گمان می‌کرد نخستین کسی است به این موضوع پی برده‌است.

خلاقیت وی به خلق خواص ریاضیاتی منجر شد هر دسته می‌تواند حاوی تعداد مشخصی از کیت‌ها و دارت‌هایی باشد که می‌توانند تا بی‌نهایت و بدون تکرارپذیری الگوهای کوچکتری از کیتها و دارت‌ها بسازند. هر چقدر تعداد این اشکال ریز افزایش پیدا کند آنگاه نسبت کیت‌ها به دارت‌ها به نسبتی موسوم به «نسبت طلایی» می‌رسد.

"گلرو نجیب اوغلو" Gulru Nacipogluیکی از استادان دانشگاه هاروارد می‌گوید: خلقت انسان مشابه هم است و شکل مشخصی دارد که از عجایب خلقت خداوندی است این که این الگوها به کجا ختم می‌شوند و به صورت هوشمندانه‌ای در درها و پنجره‌ها به کار رفته‌اند مسئله‌ای است که نمی‌توان مشخص کرد.

به گفته وی، با وجود این که الگوی پنروس به قرن ۱۴یا ۱۵بازمی‌گردد اما این اشکال کاشیکاری در دنیای اسلام از صدها سال قبل از آن به کار گرفته شده‌است. در منبتکاری‌های ایران در قرن پانزدهم و اوایل شانزدهم فهرستی از بسیاری از این طرح‌ها قرار دارند که ممکن است سرنخی برای شکوه ریاضیات اسلامی در مساجد ایران و ترکیه و مدارس بغداد و زیارتگاه‌های هند و افغانستان باشد. دانشمندان اکنون می‌دانند که مسلمانان در آن دوران می‌توانستند معادلات جبری به توان ۳و فراتر از آن را حل کنند معادلاتی که بسیار دشوارتر از معادله دو مجهولی است و اساس جبر به‌شمار می‌رود.

مسلمانان همچنین دارای حسابگرهای مکانیکی بودند و در علم داروشناسی و ستاره‌شناسی پیشرفته‌تر از اروپایی‌ها بوده‌اند اما با این حال جای تاسف است که تعداد اندکی از این دانشمندان دربارهٔ یافته‌های خود کتاب یا اثر به رشته تحریر درآورده‌اند".

در قرآن کریم یک آیه ی منحصر به فرد وجود دارد که شامل لغت مکه و یک اصطلاح است که به روشنی شهادت می دهد که همانا در این شهر آیاتی است که به انسان ایمان می بخشد. رابطه ی شهر مکه و نسبت طلایی در سوره ی آل عمران آیه ی 96 به روشنی مشخص می شود.

إِنَّ أَوَّلَ بَیْتٍ وُضِعَ لِلنَّاسِ لَلَّذِی بِبَکَّةَ مُبَارَکًا وَهُدًى لِّلْعَالَمِینَ

نخستین خانه‌ای که برای مردم (و نیایش خداوند) قرار داده شد، همان است که در سرزمین مکّه است، که پر برکت، و مایه هدایت جهانیان است. تعداد کل حروف این آیه 47 حرف می باشد. با توجه به نسبت طلایی به این نتیجه می رسیم:

حال اگر از اول آیه شروع به شمارش حروف بکنیم خواهیم دید که تا آخر کلمه ی مکه 29 حرف وجود دارد.

یعنی نسبتی که موقعیت مکه در زمین را دارد، در این آیه حاکم است و آن نسبت برابر همان نسبت طلایی است.

مسئله ی جالب

مزرعه داری یک جفت خرگوش دارد. این خرگوش ها از سن یک ماهگی به بعد، در هر ماه یک جفت خرگوش به دنیا می آورند. با این فرض که خرگوش ها هرگز نمی میرند، مزرعه دار در نهایت صاحب چند خرگوش خواهد بود؟"

 این سوالی بود که امپراتور فردریک دوم در سال 1225 برای ریاضی دانان شهر پیزا مطرح کرد و تنها کسی که جواب  را یافت و طبیعتا مسابقه را برد لئونارد فیبوناچی، جهانگرد ایتالیایی بود. او مسئله را خیلی ساده حل کرد:

در ماه اول مزرعه دار یک جفت خرگوش دارد.

در ماه دوم باز هم یک جفت دارد، چون خرگوش ها هنوز به سن بلوغ نرسیده اند.

در ماه سوم خرگوش ها زادآوری می کنند که نتیجه دو جفت خرگوش برای مزرعه دار است.

در ماه چهارم جفت خرگوش اول زادآوری می کنند ولی جفت خرگوش های دوم هنوز به سن بلوغ نرسیده اند. بنابراین مزرعه دار سه جفت خرگوش خواهد داشت.

ماه پنجم: جفت خرگوش های اول و دوم هر کدام دو جفت دیگر به جمعیت خرگوش ها اضافه می کنند و جفت خرگوش های سوم در انتظار بلوغ اند. بنابراین نتیجه 5 جفت خرگوش است.

هر ماه که می گذرد خرگوش های مزرعه داربه ترتیب زیر به زاد و ولد ادامه می دهند:

... ،1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233

در این سری از اعداد، هرجمله با مجموع دو جمله ي پيشين خود برابري مي كند اما شهرت دنباله ی فیبوناچی اصلا به این دلیل نیست. خاصیت جذاب دنباله ی فیبوناچی در این است که وقتی هر کدام از عددهای آن را به عدد قبل از خودش تقسیم کنیم، به عددی نزدیک به 1.618 می رسیم که به "نسبت طلایی" مشهور است.

یونانی ها این نسبت را با حرف "فی" نشان می‌دهند و آن را به عنوان "نسبت الهی"  می شناسند. فی در جهان طبیعت مثل رگه های درخشانی از یک امضاء نامریی از طرف خدا می درخشد:

در هر كندويي در هر گوشه از دنيا وقتی تعداد زنبورهاي ماده را به نر تقسيم می كنيم به یک عدد ثابت می رسیم: 1.618

شاخ و برگ  درخت ها به صورت تصادفی در جهات مختلف رشد نمی کنند‫. اندازه گیری زاویه شاخه ها نشان می دهد که در الگوی رشد آن ها، نظمی شبیه دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی وجود دارد. درختان با پیروی از این نوع الگوی رشد، قادرند درصد بیشتری از نور خورشید را جذب کنند. دانه های آفتابگردان به شكل مارپيچ هايي روبروي هم رشد مي كنند. نسبت قطر هر مارپیچ به مارپیچ بعدي 1.618 است.

این نسبت در بدن انسان ها هم هست؛ اگر فاصله سر تا زمين را تقسيم بر فاصله ي شكم تا زمين کنیم، به 1.618 مي رسیم. نسبت طول بزرگترین استخوان انگشت دست به طول استخوان متوسط برابر نسبت طلایی است؛ نسبت طول استخوان متوسط به استخوان کوچک هم همینطور. نسبت طول رشته ی DNA به عرض آن هم چیزی نزدیک به همان عدد فی است.

د‌رصورتی‌که تعدادی مربع با بُعدهايِ برابر با اعداد فیبوناچی رسم کنیم و خطی را در راستای قطر هر یک از مربع‌ها امتداد بدهیم،  مارپیچ فیبوناچی شکل خواهد گرفت که همان مارپیچ صدف های نوتیلوس و حلزون ها ست.

گردبادها و منظومه ها در مسیری مشابه با مارپیچ فیبوناچی حرکت می کنند.نسبت قطر مارپیچ بزرگتر به مارپیچ کوچکتر در یک گردباد برابر با 1.618 است. در کهکشان ها هم نسبت قطر مارپیچ بزرگتر به مارپیچ کوچکترهمان عدد شگفت انگیز فی است.

وقتی که سنگ هاى آسمانى با سطح زمين برخورد مى کنند، مسيرى شبیه مارپیچ فیبوناچی را طى مى کنند. عنکبوت ها شبکه تارهاى خودشان را براساس الگویی شبیه به مارپیچ فیبوناچی می تنند. ميوه های درخت کاج، موج هاى اقيانوس ها، سرخس ها، شاخ جانوران و چيدمان گل های مرواريد همگی از الگوی منحنی های این مارپیچ مرموز تبعیت می کنند.

اگر مارپیچ فیبوناچی را کامل رسم کنیم به مارپیچی می رسیم که ابتدا و انتهای آن نامعلوم است، این مارپیچ از هر دو طرف تا بی نهایت پیش می رود و هرگز به آخر نمی رسد.

من نمی دانم 1.618 لابلای مارپیچ های آفتابگردان و انحنای ظریف میوه های کاج چه می کند و حضورش به دنبال کدام اسم رمز الهی است اما فکر می کنم دو بی نهایتی که مارپیچ فیبوناچی در آن جا خوش کرده بسیار شبیه سرنوشت آدم هاست که بین دو بی نهایت هستی گم شده اند؛ بین یک آغاز و یک پایان…

بسیاری از معماران و هنرمندان کهن، نسبت طلایی را دست‌مایه کار خود ساخته و دست به خلق آثاری شگرف و ماندگار زده‌‌اند. از معروف‌ترین نمونه‌‌های آن‌ها، تابلوهای «مونالیزا» و «مرد ویترووین»، اثر لئوناردو داوینچی و بنای «پارتنون» یونان، مربوط به ۲۴۶۰ سال پیش است.

جالب اینجاست که چنین نسبتی در اعضای بدن هر انسان سالمی نیز خود را نمایان می‌سازد. بعنوان مثال، در یک چهره‌ی زیبا و ایده‌آل، نسبت فاصله‌ی چشم‌ها تا لب به فاصله‌ی لب تا چانه، و نیز نسبت عرض چشم‌ها و بینی به عرض لب، معادل عدد طلایی است.

پوسته مارپیچی یک حلزون نمونه ای ساده ودرعین حال زیبا، از نسبت طلائی است.
نسبت قطر مارپیچ های حلزون نیز نسبت 1.618 به یک را دارد.حلزون گوش انسان هم این تناسب را دارد.

نقاطی از بدن که دارای نسبت طلایی هستند:
نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا
نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج
نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر
نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر
نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا

در موسیقی هم عدد طلایی یافت شده ... به طور مثال سر و حلقه ویلن در مستطیل طلایی قرار میگیرد و کاسه آن از دوایری تشکیل شده که نسبت قطر اونا عدد طلایی هستش ... زمانی صدای ساز زیبا جلوه میکنه که نسبت دامنه امواج صوت به عدد طلایی میل کنه.

هر گاه شما طول صورت فردی را به عرض ان تقسیم کنید هر چقدر این عدد به عدد طلایی نزدیکتر باشد آن فرد باهوشتر است.